Transformasi Elementer

A.   Transformasi elementer

Yang di maksud dengan transformasi elementer pada baris/kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut :

1.      Transformasi elementer pada baris

a.    Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j, ditulis  H_ij(A).

         Contoh :

         A =  maka  H₁₂(A)=

b.        Memperkalikan baris ke-i dengan skalar l ¹ 0, ditulis H_i^(l) (A)

         Contoh :

A =  maka  H₂⁽²⁾ (A)=                  di kali 2

c.    Menambah baris ke-i dengan skalar l ¹ 0 kali baris ke -j, ditulis H_ij^(l) (A)

Contoh:

A =              maka  H₂₁⁽¹⁾ (A)=                (*)

(*) Baris 1 kali 1 tambahkan dengan baris 2 diletakkan di baris 2

2.      Transformasi elementer pada kolom

a.       Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j, ditulis  K_ij(A).

         Contoh :

         A =  maka  K₁₂(A)=              

b.         Memperkalikan kolom ke-j dengan skalar l ¹ 0, ditulis K_j^(l) (A)

         Contoh :

                       di kali 3

A =  maka  K₁⁽³⁾ (A)=     

c.       Menambah kolom ke-i dengan skalar l ¹ 0 kali kolom ke -j, ditulis K_ij^(l) (A)   

Contoh:                        

A =  maka  K₃₁⁽²⁾ (A)=            

(*) kolom 1 kali 2 tambahkan dengan kolom 3 diletakkan di kolom 3.

B.   Rank Matriks

Matriks A dikatakan mempunyai rank sebesar r

a.       Jika matriks A merupakan matriks bujur sangkar r x r, dan memiliki determinan yang tidak lenyap.

b.      Jika paling sedikit satu dari minor bujur sangkar r x r, minor determinan matriksnya tidak sama dengan nol (tidak lenyap), sedangkan apabila minor matriks bujur sangkarnya diubah menjadi  berordo (r+1), jika ada maka minor dari determinan tersebut adalah nol (lenyap).

Jika kita tinjau dari jumlah baris dan kolom oleh karena minor matriks berbentuk bujur sangkar maka besar rank matriks baris adalah sama dengan besar rank matriks kolom. Biasanya rank (A) diberi simbol r(A)= r. Dengan r adalah nilai dari rank matriks A.

Contoh:

1.      A =

Matriks A tersebut merupakan matriks bujur sangkar berordo 2x2 (r xr)

det (A) = 2.1 – 3(-1) = 5 0 (tidak lenyap)

Sehingga r(A) = r = 2

2.      A =

Matriks A berordo 3x3 maka det (A) = 2- 1 +4 = 0 (lenyap)

Jika minor matriksnya diturunkan menjadi 2x2, misalnya:

A₁₁ = , minor determinanya adalah det (A₁₁)= 0 (lenyap)

A₂₂  = , minor determinannya adalah det (A₂₂) = -4, det (A₂₂)0 (tidak lenyap)

Maka rank matriks A tersebut adalah r(A) = 2, karena ada salah satu minor determinan dengan r=2 yang tidak lenyap (tidak sama dengan nol), sedangkan jika minor matriksnya r+1=2+1=3 maka minor matriksnya adalah nol.

3.      Matriks nol mempunyai rank matriks sama dengan nol. Karena semua determinan mau pun determinan minornya adalah nol.

Contoh:

O =

Determinan O dengan ordo 3x3 adalah

det (O) = 0

Jika minor matriks O diturunkan menjadi 2x2

det (O) = 0

jika minor matriks O diturunkan menjadi 1x1

det (O) = 0

Maka rank matriks nol tersebut adalah r(O) = 0.

4.      Matriks identitas (I_k) memiliki rank matriks sebesar k  atau sama dengan ordo dari matriks identitas itu sendiri.

Contoh:

a)      I₂ =

Determinan matriks I₂ dengan ordo 2x2 adalah

det (I₂) =  1.1-0.0

            = 1 0 (tidak lenyap)

Maka rank matriks identitas berordo 2 tersebut adalah r (I₂) = 2

b)      I₃ =

Determinan matriks I₃ dengan ordo 3x3 adalah

det  (I₃) = 1, 0 (tidak lenyap)

Maka rank matriks identitas berordo 3 tersebut adalah r(I₃) = 3

Mencari rank matriks memang tidak semudah yang dibayangkan, apalagi kalau jumlah baris dan kolomnya cukup banyak, katakan lebih dari 4. Maka mungkin kita akan mencari minor-minor yang lebih banyak untuk menentukan rank matriksnya. Untuk mempermudah di dalam mencari nilai rank suatu matriks maka kita dapat melakukan transformasi elementer pada matriks tersebut sehingga matriks tersebut menjadi matriks eselon.

Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi syarat sebagai berikut:

1.      Setiap baris yang semua unsurnya nol (jika ada) terletak sesudah baris yang mempunyai unsur tidak nol.

2.      Pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak nol  yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tidak nol baris sebelumnya. Elemen(unsur) tidak nol pertama dari suatu baris disebut unsur utama atau elemen pivot.

Contoh matriks eselon adalah sebagai berikut:

K =  (elemen pivotnya adalah 1 dan 3)  

Maka besar nilai rank matriks tersebut adalah berapa jumlah baris yang bebas linear (tidak semua elemen-elemen pada barisnya bernilai nol). Untuk mengubah ke bentuk eselon kita dapat melakukan langkah-langkah berikut:

1.      Tentukan elemen Pivot (pada baris), untuk mempermudah pilih elemen 1 atau –1. Namun tidak tertutup kemungkinan elemen dengan angka lain.

2.      Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengan pivot tersebut.

3.      Sekarang kita perlu perhatikan lagi baris yang tertinggal ( tanpa baris atau kolom yang terdapat pivot):

a.         apabila tinggal dua baris /kolom yang tersisa maka tinggal diperiksa apakah baris tersebut kelipatan jika ya maka salah satu baris tersebut dapat dijadikan nol.jika tidak langkah selesai.

b.        Apabila masih lebih dari dua baris/kolom lakukan lagi langkah 1 di atas sampai langkah 3.

4.      Hitunglah jumlah baris yang bebas linear (tidak semua elemen-elemen pada baris tersebut bernilai nol). Maka jumlah baris yang bebas linear tersebut merupakan besar atau nilai dari rank matriks tersebut.

Contoh: dengan menggunakan transformasi elementer, tentukanlah berapa rank matriks A berikut:

A =

1.      Pilih pivot baris 1 kolom 1

2.      Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengan pivot tersebut

Untuk matriks A tersebut di atas kita dapat melakukan transformasi elementer , , misalkan hasilnya adalah A₁

A₁ =

3.      Sekarang kita perlu perhatikan lagi baris yang tertinggal ( tanpa baris atau kolom yang terdapat pivot):

Karena masih tersisa 2 baris, dan merupakan kelipatan salah satu baris sehingga salah satu baris dapat dijadikan nol, serta tidak mengandung pivot, maka kita pilih pivot kembali, misalnya baris kedua kolom kedua.

A₁ =

Lakukan transformasi elementer untuk mengubah elemen-elemen salah satu baris menjadi nol.

A₂ =

4.      Karena tinggal dua baris  yang tersisa dan  baris tersebut  bukan kelipatan, sehingga salah satu baris tersebut tidak dapat dijadikan nol. Transformasi elementer selesai untuk mengubah matriks A menjadi matriks eselon.

5.      Jumlah baris yang bebas linear adalah 2

Maka dapat disimpulkan bahwa rank matriks A =  adalah r (A)= 2.

Dari beberapa transformasi elementer di atas, jika dilanjutkan maka akan diperoleh akhir yang berbentuk suatu matriks dengan unit matriks (identity matriks I_r) yang berada di pojok sebelah kiri atas dengan baris dan kolom sebesar r. Yang pada akhirnya akan membentuk hasil sebagai berikut:

a.       Untuk r  <  n

i)         

ii)    

iii)  

b.      Untuk r  n

Ini berarti bahwa rank yang bersangkutan sebesar r. Hal ini bisa dicapai apabila melakukan transformasi elementer pada bentuk eselon dengan mengubah elemen-elemen selain elemen diagonal utama menjadi nol.

Contohnya:

Jika kita lanjutkan melakukan transformasi elementer pada contoh sebelumnya pada A₂ maka

A₂ =

a.       Dengan melakukan transformasi elementer  dan , misalkan hasilnya adlah A₃;

A₃ =

b.      ; misalkan hasilnya adalah A₄;

A₄ =

c.       ; misalkan hasilnya dalah A₅:

A₅ =

A₅  =

Jadi, dari unit matriks (identity matriks I_r) kita dapat mengetahui bahwa r=2. Sehingga rank matriks A =  adalah  r(A) = 2.

C.   MATRIKS SINGULAR DAN NON-SINGULAR

1.    Matriks singular

Matriks singular adalah matriks yang determinannya sama dengan nol. Matriks singular tidak punya invers. Matriks singular memiliki rank = r (di mana r  n)

Contoh matriks singular:

 karena

Matriks S di atas adalah matriks bujur sangkar berordo 2 (n2) dan determinannya lenyap. Jika matriks S diturunkan ordonya menjadi 1x1, maka minor determinannya tidak sama dengan nol. Sehingga r(S) = 1 (r  n).

2.    Matriks non-singular

Matriks non-singular adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Matriks nonsingular mempunyai invers. Matriks singular memiliki rank = r (di mana r  n).

Contoh matriks nonsingular:

, maka

Dari matriks A di atas adalah matriks bujur sangkar berordo 2 (n  2), sehingga rank matriksnya r(A) = 2. (r  n  2).